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Les 3 figures mères en géométrie

Cercle ~ triangle ~ carré

- Les 3 figures mères
- Les 3 pavages du plan
- Les 3 axes de symétrie
- Les 3 grilles ou treillis
- Principe de la triangulation

L'esprit de géométrie

L'art du trait.

La géométrie, étymologiquement, mesure de la terre, implique l’art du trait dans la mesure des formes.

Elle permet le tracé des figures mères ou formes archétypes, appelés aussi Théorie des Idées par Platon. Il ne s’agit pas des idées “qui nous passent par la tête”, mais bien des idées archétypes, pures, absolues, primitives, qui servent de modèle à toutes les formes visibles.

L’idée du latin idea, « type de choses »; emprunté au grec ι ̓ δ ε ́ α proprement « forme visible, aspect » d’où « forme distinctive, espèce »; dérivé de ε ι ̃ δ ο ν « voir ».

La géométrie sert de passerelle entre le nombre et le symbole. Toute forme géométrique n’est pas symbolique, mais dans bien des cas, si ce n’est dans tous, le symbole est d’inspiration géométrique.

figures meres

Les trois figures mères

« C’est à partir des trois bases fondamentales : le cercle (la forme ronde), le triangle (la triangulation) et le carré (quadrature) que naissent les édifices gothiques les plus élaborés, car sans l’aide de la ligne droite, de l’angle, du cercle, de l’arc de cercle, du triangle, du carré et du polygone, il est impossible de construire concrètement. »

Franz Rziha ~ Études sur les Marques des Tailleurs de Pierre

Les trois axes de symétrie

triangle

Le triangle ~ Angle à 120°

Trois rayons

cercle

Le cercle ~ Angle à 60°

Six rayons

carre

Le carré ~ Angle à 90°

Quatre rayons

« Tout ce qui existe dans la nature corporelle, toutes les formes, les moindres traits, ne sont et ne peuvent être que des réunions, des combinaisons, ou des divisions des signes primitifs qui sont les nombres. Rien ne peut paraître parmi les choses sensibles qui ne soient écrit par eux, qui ne descendent d'eux et qui ne leur appartienne, comme toutes les figures possibles de la Géométrie seront toujours composées de points, de lignes, de cercles ou de triangles. »

L.C. de Saint-Martin ~ Tableau Naturel

Les trois pavages du plan

axes symetrie

Pavage triangulaire

Obtenu par juxtaposition d'hexagones

grilles

Pavage hexagonal

Obtenu par juxtaposition de triangles

treillis

Pavage carré

Obtenu par juxtaposition de carrés


Il n’existe que trois manières de remplir le plan euclidien à l’aide de polygones réguliers : le triangle, le carré et l’hexagone.

pavages

Le pentagone ne permet pas de remplir totalement le plan. Il n’est pas à considérer comme une « figure mère ». D’autre part son axe de symétrie situé au sommet ne lui confère pas un caractère d’isométrie. Son étude relève d’une approche polygonale ou symbolique.

Matyla C. Ghyka, dans l’avant-propos de son ouvrage sur Le Nombre d’Or, parle pour qualifier la symétrie et la proportion de l’art méditerranéen :

« de procédés graphiques qui (…) aboutissent à reproduire des tracés dans lesquels le thème de l’ensemble se réfléchit, se reproduit, suivant un certain rythme plus ou moins voilé, dans chacune des parties. Loi de l’analogie, de la répétition de la forme fondamentale, de l’identité dans la variété, du Même et du Semblable. »

Les trois grilles des bâtisseurs

triangulation

La triangulation

Troisième étape : double homothétie interne

rosace

La rosace

ou Fleur de Vie

quadrature

La quadrature

Troisième étape : double homothétie interne

Les marques des tailleurs de pierres

Dans Le Nombre d’Or Matila Ghyka fait référence à « l’immense travail » de l’architecte autrichien Franz Rziha qui « parait avoir trouvé la clef mathématique et logique ».

Ses études faites sur la Bauhûtte, fédération des tailleurs de pierre sous l’empire germanique au XVeme et au XVIeme siècle, montrent que tous les signes laissés par les ouvriers et maîtres sur les monuments dérivent de quatre matrices types ou réseaux, de complexité croissante, que Rziha appelle Quadrature, Triangulation, Quadrilobe et Trilobe (ou rosace).

triangulation

Matila Ghyka précise dans Le Nombre d’or que le concept d’analogie correspond étymologiquement au grec analogia, et traduit le terme de proportion, comme le suggèrait Vitruve dans son De architectura (25 av J.C.) :

« La symétrie consiste en l’accord de mesure entre les divers éléments de l’œuvre, et entre ces éléments séparés et l’ensemble. Elle découle de la proportion, de ce que les Grecs appellent analogia, consonance entre chaque partie et le Tout. »

Il ajoute que le terme de symétrie garda ce sens, tout à fait différent de sa signification actuelle, jusqu’à la fin du XVII siècle.

Nous découvrons là une parenté inattendue entre l’approche analogique utilisée en symbolisme, et qui vise à rétablir le lien avec le haut, et l’approche géométrique, résolument tournée vers la terre, géo en grec, ou plus précisément sur sa mesure, metria.

Mais le Bas étant un reflet du Haut, c’est en mixant les techniques, en appliquant par exemple la réduction théosophique aux idées ou la valeur secrète aux figures géométriques que nous allons réellement découvrir l’existence d’une science des nombres dont les ramifications s’étendent à l’infini.

La nouveauté réside non pas dans une nouvelle approche du symbolisme du nombre mais bien dans une nouvelle façon de voir les choses de manière synthétique en portant la réflexion sur la relation plus que sur l’étude des éléments pris séparément. Un nombre pris isolément ne veut rien dire en soi. C’est en le situant au sein de sa famille qu’il prend tout son sens.

quadrature